Was ist eine Bézierkurve?

Was die Griffe tatsächlich tun

Ein Kurvensegment hat vier bestimmende Punkte: die beiden Anker, durch die die Kurve wirklich läuft, und zwei Kontrollpunkte, die an den Griffen sitzen. Die Kurve berührt diese Kontrollpunkte nie, sie wird nur in ihre Richtung gezogen. Ein langer Griff bedeutet eine große Wölbung, ein kurzer eine straffe Kurve, und die Richtung des Griffs ist die Richtung, in der die Kurve den Ankerpunkt verlässt.

Am Ankerpunkt entscheidet die Stellung der beiden Griffe zueinander über den Charakter der Stelle. Liegen sie auf einer Linie, geht die Kurve glatt durch. Zeigen sie in unterschiedliche Richtungen, entsteht eine Ecke, also ein Knick. Zeichenprogramme bieten dafür eigene Knotentypen an, mit denen du einen Punkt gezielt auf spitz oder glatt umstellst.

Weil hinter alledem eine Formel steckt, bleibt der Verlauf bei jeder Vergrößerung exakt. Ein Logo aus Bézierkurven lässt sich in Visitenkartengröße ebenso ausgeben wie als Beschriftung über eine ganze Hallenwand, ohne dass Kanten ausfransen.

Die Mathematik dahinter

Eine Bézierkurve wird über einen Parameter t beschrieben, der von 0 bis 1 läuft. Bei t = 0 steht die Kurve auf dem ersten Ankerpunkt, bei t = 1 auf dem letzten, dazwischen mischt die Formel alle Punkte mit wechselnden Gewichten. Diese Gewichte heißen Bernstein-Polynome. Für die kubische Kurve mit den Punkten P0 bis P3, die in Zeichenprogrammen üblich ist, lautet die Formel:

B(t) = (1-t)³·P0 + 3(1-t)²·t·P1 + 3(1-t)·t²·P2 + t³·P3,   0 ≤ t ≤ 1

Je nach Anzahl der Punkte unterscheidet man den Grad der Kurve. Eine lineare Bézierkurve aus zwei Punkten ist eine gerade Strecke, eine quadratische hat einen Kontrollpunkt, eine kubische zwei. Quadratische Kurven stecken in TrueType-Schriften, kubische in PostScript- und CFF-Schriften, in Illustrator, Inkscape und Figma. SVG kennt beide, als Pfadbefehle Q und C.

Konstruieren lässt sich jeder Punkt der Kurve auch ohne Formel, indem man die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten wiederholt im Verhältnis t teilt. Dieses Verfahren heißt De-Casteljau-Algorithmus und ist zugleich die anschaulichste Erklärung, warum die Kurve von den Kontrollpunkten angezogen wird, ohne sie zu berühren.

Sauber zeichnen mit dem Zeichenstift

Die wichtigste Regel lautet: so wenige Punkte wie möglich. Anfängerpfade haben oft zwanzig Knoten, wo vier gereicht hätten, und lassen sich danach kaum noch verändern, weil jede Korrektur an einer Stelle die Nachbarschaft verzieht.

Punkte gehören an die Extremstellen, also dorthin, wo die Form am weitesten oben, unten, links oder rechts ausschlägt, und an echte Ecken. Zwischen zwei Extremstellen braucht es keinen Knoten. An den Extremstellen stehen die Griffe dann waagerecht oder senkrecht, und wer den Griff beim Setzen gleich in Fahrtrichtung der Kurve zieht, spart sich das spätere Nachjustieren.

Gezeichnet wird mit dem Zeichenstift, nachgearbeitet mit dem Knoten- oder Direktauswahl-Werkzeug, das Anker und Griffe einzeln greift. Freihandgezeichnete Pfade lassen sich nachträglich vereinfachen, das Ergebnis ist aber selten so ruhig wie ein von Hand gesetzter Pfad.

Wo dir Bézierkurven sonst noch begegnen

Schriften bestehen aus genau solchen Kurven, weshalb sich Buchstaben in Zeichenprogrammen in Pfade umwandeln und dann punktweise verändern lassen. Auch Beschneidungspfade in der Bildbearbeitung, Schnittkonturen für Plotter und Stanzformen und die Bewegungskurven in Animationsprogrammen greifen auf dasselbe Prinzip zurück.

Im Webbereich taucht es als Zeitverlauf auf: Eine Übergangsanimation mit cubic-bezier(x1, y1, x2, y2) beschreibt über zwei Kontrollpunkte, wie schnell eine Bewegung anläuft und ausklingt. Anfangs- und Endpunkt liegen dabei fest bei (0, 0) und (1, 1), deshalb genügen vier Zahlen.